回复 188楼hru的帖子

其实在Grade8之前都可以建立（就是上高中之前，

既与大脑发展有关——大脑的软连接要在12-18岁之间会蓬勃发展

又与知识体系有关——代数是个整体，

问题是，

我不知道如果18岁之后

modeling能力没有

还有多少能力重建modeling的能力。

所以如果美国高中没有培养小孩

对于modeling的能力

那么还有机会吗？

你说的代数，也是不能是直接用代数知识，而得构建，

就是要通过间接条件构建出要求的条件

也就是有逻辑推理至少2-3部分

直接用知识点，那个知识fill the blank

要转成逻辑

得有推理在里面

代数，

平面几何

平面解析几何

他们中间任意拎出一个来都可以培养这方面的能力

其实我真的个人觉得

如果实在找不到好教材

那么直接拿

AMC，AMC10， AMC12的题目

来联系了写步骤

也行

那个其实也培养了modeling的能力

——至少后面的题目不直白

法国材料是20年代由J. Tannnery, J. Hadamard, E. Borel, E. Cartan四位院士出马编写法国中学教材的。

法文中的一本可见https://www.amazon.com/Le%C3%A7ons-Darithm%C3%A9tique-Th%C3%A9orique-Pratique-French/dp/1143664787

并不适合小孩读，是纯粹从扎实数学功底的角度上来讲授数学

mark

回复 186楼echodrawing的帖子

太好了，我也超喜欢anno的书，谢谢推荐！

我的高斯的Disquisitiones Arithmeticae 今天到了，翻看第一页第一段congruent number in general, 发现自己居然完全忘了什么是congruent number。。。汗啊。。。反正全当读着玩，不指望靠它赚饭票，慢慢看吧

前面讨论modeling，我知道我们学区二年级数学的作业有类似的练习。比如给你一个数学公式，让你讲一个故事。比如5+4=9，可以是“哥哥赢了5个treasure box， 妹妹赢了4个，两个人一共赢了9个”。或者是天上飞过几支鸭的故事。有些家长不喜欢，觉得每天都是数几只鸭子，很没意思。在这个练习里能有多少收获，跟家长的辅导能力关系很大，因为孩子一开始建模的例子会很单一，所以父母如果能给一些多样性有意思的应用，效果应该更好。关于高中以后能否有建模能力，我觉得完全可以。我的前老板，大学学的是american studies（我的偏见是这是很水很水的文科），她30岁以后去mit读计算机科学，毕业后工作起来，建模能力是杠杠的，虽然我也不觉得她有代表性，但我认为好的语言组织水平，对于清晰地表达/辨析/解释问题非常有帮助。

最后分享一些我最近发现的资源。

给数学外行的梳理数学知识的资源，我找到一个油管的10分钟视频，对我这个外行还是挺有意义的。

https://www.youtube.com/watch?v=OmJ-4B-mS-Y&ab_channel=DoS-DomainofScience

给小朋友的资源，我开始给孩子看一些非常简单的数学史的视频（https://www.youtube.com/watch?v=eVm063xmnow）。

我还给她看这个math anxiety的视频，她看得时候目不转睛，真的是被get到了。（https://www.youtube.com/watchv=7snnRaC4t5c&ab_channel=TED-Ed）

Mark一下

回复 194楼xinlaide的帖子

你老板是旧式系统培养出来，

2000年之前上小学和现在的小学数学完全变样了

（Bush不让一个学生拉下之后，变了很多很多

美国小学初中数学教育每十年往后退一步。。。。。）

老式教育还是很厉害的，

Edward Witten本科历史，

照样拿了数学的菲尔兹和物理的诺奖

这种让小孩讲故事方法好

但美国的问题在于后继无力

大意就是整来整去都在演绎加减乘除

公倍数，公约数，分数，幂

等等似乎只认识了一下数学符号和定义

——这个是我对邻居小孩的观察

不清楚其它样本

让老师编一个

某工程先做了1/3,又做了剩下的2/5,又做了剩下的6/7，最后剩下1天，问一开始工程多少天，

似乎有理解困难

要解释model首先的基本运算，

基本数字都理解清楚

似乎美国现在小学教育、

几乎大部分精力发在了整数的加减乘除上

然后分数有些虾米

（这一点我很喜欢AIME的题目

答案被迫化成最简分数）

我对beestar后面练习非常诧异

它对于分数，一元一次方程的练习数字上非常简单

没办法，分数计算跟不上，一元一次方程不能弄复杂一些的数字。。。

我娃还小，没想过这部分怎么弄

可能先爬质数格子

好歹把100以内数的因子分解都熟悉了

如果连分数只是了解了一下的话，

那么关于百分数，

关于物理公式的理解就更加。。。。

英语确实对解释清楚非常又帮助，

你举例的方法飞小鸟也非常好的，

但要跟知识持续性跟上，

不能只整加减乘除。。。。。。。

得随着内容的增加而变迁

Moore教学法（螺旋式上升）

本来是跟后面知识构建

但是后面知识没有来得及讲。。。。

比如讲什么A+B=C

还可以写什么A=C-B， B+A=C， B=C-A

这样讲是为了学生

对后来代数学的等式移项呼应起来

但后面教方程的老师不觉得，

他们还强求学生两边同时加减乘除

如果那样的话，

那么前面练习写变形

完全浪费了

Moore本身方法形容没有问题

打基础“理论上”也没有问题

实践上出了问题

后面的学习根本没有呼应前面深入的方法和知识

我个人觉得

小学一年级整加减各种理解都行

二年级整乘除，各种理解都行

到了三年级，就应该放精力在运算规则上

到了四年级，就放精力在小数上了。

到了五年级，精力放在整分数上

到了56年纪，还在整数加减乘除，

真的是把后面拉下来了。。。。

我当时看到邻居小孩

对分数的计算能力都震惊了

一算就错的地步

哪怕是最简单

一个分数除以一个分数都算不正确

据他妈说当年耗费了很大力气才理解了百分数。。。。

——应该不代表美国大多数。。。。。

====================

我对数学的看法freedom

The essence of mathematics lies in its freedom.

——Georg Cantor

能够拓展它的认识和疆域的方法也好

书也好，我都愿意接受

但凡是限制它自由的，

我都难有些困难。。。。。

数学疆域的扩展

一次次就是为了自由

正数（加乘的自由）-->

整数（加减乘的自由，不在限制必须大的减去小的）-->

有理数（加减乘除的自由）-->

实数-->

复数

一次次寻求方程的解

也是为了自由

要不高斯就不会选择数学了

所以凡让我觉得限制了自由的方法——就是规定一定要怎样的，

都不喜欢

比如说解方程的套路

记住加减的family

等等

当计算能力限制了认识

也就会限制了数学的自由

美国小学，初中的分数计算能力

到底能不能达到

任意分数加减乘除的四则混合运算都没有问题

任意分数都可以化成最简形式。

回复 196楼echodrawing的帖子

唉，说到痛处了。本来都讲好了怎么移项解方程，然后突然有一天发现又只会两边同加减同乘除，一问才知是老师要求的。

回复 196楼echodrawing的帖子

楼主，我就是之前你那个帖子给你贴我家娃8年纪题目的，说实话对数学教育这个事我和你的观点完全相反。

数学这个东西又不看童子功，完全没有必要提前推。对于任何学科，掌握程度基本可以分三类：

1开创型（bring new things to the subject）

2熟练使用型

3学了和没学差不多型

1是完全不需要任何推的，家长推来推去，其实是怕娃是3。但是从3到2，如果家长自己是1/2之间，完全不用从什么4岁就开始，投入产出严重失调。如果到了初中发现娃有3的苗子，再推也完全来得及。我自己本科期间一直给高三做理科家教，基本一年时间内以2h/week的强度，都可以从3推到2. 所以如果娃听话，到高中再推也来得及，考虑现在的娃高中不太听父母的了，所以初中加个check point就可以了。

至于你说的自由，任何一种知识或能力都是达到一定的高度才有自由。

这个世界上除了数学自由，还有画画自由，演讲自由，写作自由，足球自由，。。。无穷无尽。没有人可以达到所有的领域都自由，养孩子最重要的是不要让孩子本来可以自由的领域由于父母的局限而不自由了，而不是过于担心娃在某个方面不自由。

你这邻居的孩子多大？根据你的描述，貌似这孩子上数学课就没有认真听讲过啊。

美国中校学数学教育是差，但是你邻居孩子的表现绝对不能完全怪罪于教育体系。毕竟，教育体系再完美，学生不学的话自然也是啥都不会啊。

至于你说的建模，我觉得其实解应用题就算是建模。

另外，你说的“虾米”是啥意思？我年纪大了，不知道这类网络词汇。