给疯子的一本数学故事书之37

无穷小的幽灵

一望无际的海滩上，希腊跑得最快的阿喀琉斯决定跟乌龟来一场追及赛跑。

赛跑的规则是，阿喀琉斯每次需要跑完乌龟已经爬过的距离，

但当他跑到这一距离时乌龟又再次向前爬行了一段距离，

然后阿喀琉斯又需要跑过新路程，可他跑完新路程后，发现乌龟又前进了，

结果就是，阿喀琉斯永远也追不上乌龟。

好像有哪里不对劲？谁会跑不过乌龟？

芝诺悖谬里面暗藏了一个假设，

哪怕距离非常小，乌龟都在阿喀琉斯的前方。

但在现实中，当乌龟跟阿喀琉斯之间只差一个脚印的时候，乌龟永远可以领先阿喀琉斯一点点距离就会被打破。这是第一次“足够小”留下思考。

圆周除以直径，这个定数是多少？阿基米德尝试过。中国祖冲之也试过。

祖冲之用的办法是割圆法。

从一个圆内切四边形开始，以圆心为定点，四边形边为底，构成4个同样大小三角形，由此计算四边形的边长和周长；

然后将每个三角形隔成两份，成为内切8边形，圆被割成8个同样大小三角形，由此计算8边形的边长和周长；

在将每个三角形切两半，圆被割成16个同样大小三角形，计算16边形周长；

以此类推，不断的割圆就可以求出圆周角除以直径的定数。

问题来了，人为的画圆割圆总是有限，而为了得到确切的数字，怎样实现无穷尽的割圆。

无穷小的幽灵一直笼罩在数学发展的上空。

伽利略扔小球时，不得不忽略小球的体积。

傅里叶展开时，不得不面对等式不成立的情况。

不解决它，牛顿，莱布尼兹，达朗贝尔，泰勒，等讨论都得加入很多假设和限定条件。

直到作为高中辩论小能手的柯西，给无穷小取了一个数学术语“无穷逼近”。

什么叫做无穷逼近，我们用Hugo Steinhaus的夹逼定理来解释一下。

一辆在海岸线上奔驰的车。车轮下的公路向前无限延伸，头顶上的天空无边无际。

车永远在公路和蓝天之间。遥不可及的远方，公路跟蓝天羽化成一个点。

如果公路与蓝天都在响应一个虚无的呼唤，那么我们车也最终将驶向虚无。

无穷小，并不等于0，它是一个表征无限趋近于0的变量。

如果我们在旷野中行驶的车一样，渴望去触摸远处地平线上的蓝天一样，当我们抬起手，却永远有一个距离。

后面的话：

第一次知道夹逼定理也叫做三明治定理时，脑中想到煎饼果子，一口咬下去嘎斌一声，圈里面包裹一个圈，说明了高阶无穷小之间的包络关系，还有着黏黏嗒嗒的酱，说明其中的差别。

疯子：人生最终奔赴的是什么，每个人的选择不一样。有人选择了忠于自我，潮牌也是一种自我张力的体现。

注：阿基米德用的办法的是不断去用一个内切多面体和一个外接多面体去逼进圆周，当多面体的个数从4个增加到96个时候，那么得出223/71 <pi<22/7 (3.140845<pi<3.142857)。这个虽然没有精确到小数点后多少位，但是却与夹逼定理有同样的想法。

给疯子的一本数学故事书之38

——魏尔斯特拉斯Weierstrass

“无限逼进”是辩论小能手柯西给的文字解释。但无穷小在数学上定义没有给出，没有无限小数学上的定义，也就没有极限数学上的定理。

给出这个定义的人叫做魏尔斯特拉斯。

魏尔斯特拉斯高中就很喜欢数学，但他以政府委培生的名额进入大学里面学习法律，经济。

他只顾着选修数学课程，把自己专业的培养计划给搁置了，并没有拿到学位。

热爱数学的魏尔斯特拉斯又去大学里面进修数学，拿到了数学教师资格，去了一所中学教学。

他教数学，物理，植物和体操。

这时候的魏尔斯特拉斯与数学大牛们生活在两个完全不一样的圈子。

大牛们不可能去看《中学生数学杂志》，那些给什么题又想出什么解法的论文，在数学领域算不上真正的论文。

然而就是这样一位中学数学老师给出了极限的数学定义。

对于数列An和B，无论假设怎样小的δ>0，都存在一个N，

|Ak-B|<δ对所有的k>N都成立。

“无论”“都”,"所有"三个词的精妙组合，终于网住了给“无穷小”这个幽灵。

无论现实拿出多小的东西出来，那个总能拿出比你更小的幽灵，就叫做无穷小。

中学的数学老师有一个特点，擅长做题，包括证明。

正是这样的特点，让魏尔斯特拉斯成为一个给出极限清晰数学解释的数学家。

中学数学老师还有一个特点，擅长出题，举例。

在柯西说，所有连续函数都可导的情况下。

魏尔斯特拉斯给出一个反例，一个处处连续，却处处不可导的函数。

从1841年魏尔斯特拉斯在中学数学期刊上正儿八经的写数学论文。

1850年他在克雷尔杂志（就是前面跟阿贝尔一起办期刊的朋友）发表关于阿贝尔函数的论文。

克雷尔，那个眼睁睁的看着阿贝尔怎样失望的离开和过世的人，怎么忍受又一个数学天才被忽略了？

于是，克雷尔大力给认识的朋友推荐魏尔斯特拉斯。

最终，柯尼斯堡大学授予了魏尔斯特拉斯名誉博士学位，柏林大学聘用魏尔斯特拉斯。

1856年魏尔斯特拉斯当选为柏林科学院院士。

从1841年当中学教室，到1856年到大学工作，中间经历了15年。

15年长吗？很长，很多人最精力旺盛的时期就这样过去了，

但魏尔斯特拉斯体力惊人，一直工作到70多岁，由他而起的数学家族树枝繁茂盛，硕果累累。

他被称之为现代数学分析之父，

后面的话：

如果一个高中数学老师不会写证明，那么整个初等数学体系在他脑中，就是孤立的知识点，这样的老师算不上一个合格的数学老师。学生可以当一个个孤立的点学，但如果教的老师万万不能只理解到点的程度，那么就教出的学生就只会照本宣科了。

美国很多大学生2x+4=10，如果直接写2x=6，x=3。学生要问为什么。

非得写成2x+4-4=10-4，2x=6，2x/2=6/2, x=3。学生才能明白。

有人觉得大学老师就应该这样教。

大学老师这样写给学生没有问题。

却不明白这个折射出来的是，看不懂的学生在中学的学习过程中，已经一步步失去了，自己脑中运用已经知道知识，综合推导和理解能力。

他们的中学老师误了他们。

疯子：从生命的长河中看，有才比有名更重要，无才比无名更滑稽。

给疯子的一本数学故事书之39 ——

无穷大的幻想

8水平放置就是无穷大的符号∞，第一个这样写的是John Wallis《算术的无穷大》（1866年）。这样写代表着，从头到尾从上到下纠缠在一起，可以一直无休无止的画下去。

有一个关于无穷大的扔硬币游戏。

第1次赌1万元，如果为正面，得到1万元；如果为反面，失去1万元；赢了收手，输了继续；

第2次赌2万元，如果为正面，得到2万元；如果为反面，失去2万元；赢了收手，输了继续；

第3次赌4万元，如果为正面，得到4万元；如果为反面，失去4万元；赢了收手，输了继续；

……

第n次赌2^(n-1) 万元，如果为正面，得到2^(n-1) 万元；如果为反面，失去2^(n-1) 万元；赢了收手，输了继续；

……

按照这样的赌博方法，那么总有一天我会赢。而且在赢的时候，我不仅仅偿清了债务，还赢了1万元。

世上有一定会赢的赌博吗？

显然没有，那么这个游戏的漏洞在哪里？

这个游戏漏洞就在于

假设我有无穷多的基金，哪怕一直输，我也能一直拿出2倍与上次的赌资玩下去。

因为银行存款有穷尽，所以此赌不可为。

无穷，很多人梦想过。长生不老的秘方，秦始皇追寻过，亚历山大大帝也寻找过。

虽然寻长生这件事情不靠谱，但亚历山大整个罗马帝国数学的发展起了积极的推动作用，他拜亚里士多德为师。第欧根尼能够对亚历山大说，“你挡了我晒太阳。”

既然是无穷大，那么是否可以比较，又怎样比较呢？

第一个有记录思考这个问题的是阿基米德。 1/2+1/4+1/6+…与1+1/3+1/5+1/7+…谁大谁小。阿基米德给出了讨论。

与无穷小一样，关于无穷大的讨论一直延续了上千年。

吾生有涯，知之无涯。以有涯随无涯，欣然往矣！

后面的话:

无穷大的边界效应是零，1+∞=∞, 100*∞=∞, ∞+∞=∞ 。蜉蝣于天地微不可及，但也愿意做绽放的一日。

疯子： 人生太短了，所以无论处于何种境地，才应该姿情绽放，不负朝华。谁也不能制止你放声歌唱！

一方深重苦难生死不明中，另一方却引导一群人磕血糖。每撒一次人工糖粉圈就被挑起互斗，结果就是被404的一方再被拉起来鞭尸一遍…

813后看了几次这样的循环操作，太违反三观了，实在看不下磕血糖，就自我剥离了那个群体。再恶补课了解内🐟ZB流量粉圈经济运作等，彻底醒了。所以我认为813是个分水岭，有同理心同情心的都无法磕血糖的。

想当初一群人813后因为ptsd需要特为开个楼疗伤，几个月后却不能接受处于813苦难中心的正主有ptsd。什么人哪！

好喜欢你写的故事和寄语。👍🌹

我这几个月观察下来，还在磕的那些不少早已忘记自己当初进疗伤楼的初心，只不过放不下自己的面子，不肯承认自己磕错了，只是为了和唯粉一争高下。看到当初视频出来还有人在那里沾沾自喜的说wf应该感谢她们，身上穿的带的潮牌是因为cpf才有的，看cpf多重要， 我真的哑然失笑。磕cp磕成这样，我真觉得悲哀

我不明白她们有什么好争的。 赢了又如何，输了又如何？

归根到底，我只是想老张快乐罢了。想把这个世界夺走的快乐，还给他。

谁输谁赢，谁受惩罚，谁又飞黄腾达， 这些与我何干？

我也不在乎，被打脸又怎么样，我只在乎小哲能不能好好活下去，清白地站着活下去